ⓘ Free online encyclopedia. Did you know? page 150




                                               

Bolzano-Weierstrassi teoreem

Bolzano-Weierstrassi teoreem on oluline teoreem matemaatilises analüüsis. See ütleb, et igal tõkestatud arvjadal leidub koonduv osajada. Bolzano-Weierstrassi teoreem on põhimõtteliselt samaväärne Boreli-Lebesguei teoreemiga ja reaalarvude korral ...

                                               

Boreli-Lebesguei teoreem

Boreli-Lebesguei teoreem on oluline teoreem meetriliste ruumide topoloogias. See kõlab: n -mõõtmelise eukleidilise ruumi R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} tõkestatud ja kinnise hulga A igal lahtisel kattel leidub lõplik alamkate. Siit järeldub ...

                                               

Cantori aksioom

Cantori aksioom on pidevusaksioom matemaatilises analüüsis. See ütleb: Teineteisesse sisestatud lõikude sellisel jadal \supset \cdots,} kus lõikude pikkused lähenevad nullile, st lim n → ∞ a n − b n = 0, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}-b ...

                                               

Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy -Schwarzi võrratus on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste korrutisest: | ⟨ x, y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖, {\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|\,} kus ⟨ x, y ⟩ {\displa ...

                                               

Diferentseerimisoperaator

Diferentseerimisoperaator on matemaatikas diferentsiaaloperaator D, mis seab ühe muutuja funktsioonile vastavusse selle funktsiooni tuletise.

                                               

Diferentsiaal

Funktsiooni y = f {\displaystyle y\!=f} diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut: d y = f ′ x ⋅ Δ x, {\displaystyle \mathrm {d} y=fx\cdot \Delta x\,\ ...

                                               

Diferentsiaaloperaator

Diferentsiaaloperaator on matemaatikas operaator, mida saab avaldada diferentseerimisoperaatorite kaudu. Diferentsiaaloperaatorid võivad olla lineaarsed või mittelineaarsed operaatorid. Antud artiklis keskendutakse lineaarsetele diferentsiaaloper ...

                                               

Eksponentrida

Eksponentrida on astmerida kujul ∑ n = 0 ∞ z n n! = 1 + z 1! + z 2 2! + z 3 4! + …. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{4!}}+\ldots \.} See rida koondub kogu komplekstasandi ...

                                               

Erifunktsioon

Erifunktsioon on funktsioon, mis pole elementaarfunktsioon, aga on nii oluline et, sel on oma nimi, näiteks Riemanni dzeetafunktsioon. Erifunktsioone defineeritakse astmeridadena, lõpmatute korrutistena, trigonomeetriliste ridadena, ortogonaalrid ...

                                               

Fundamentaaljada

Olgu M meetriline ruum kaugusega ρ {\displaystyle \rho }. Jada v n ∈ M {\displaystyle \mathbf {v} _{n}\in M} nimetatakse fundamentaaljadaks, kui iga positiivse reaalarvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv N, et iga naturaalarvu n, m > ...

                                               

Gaussi-Ostrogradski teoreem

Gaussi-Ostrogradski teoreem on valem matemaatilises analüüsis, mis seob omavahel vektorvälja voo läbi pinna ja antud pinna sisese tensorvälja käitumise.

                                               

Greeni valem

Kui funktsioonid X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} ning nende osatuletised X y {\displaystyle X_{y}} ja Y x {\displaystyle Y_{x}} on pidevad x y {\displaystyle xy} -tasandi sidusas piirkonnas D {\displaystyle D}, mille rajajoon Γ {\displ ...

                                               

Harmooniline analüüs

Harmooniline analüüs või Fourier analüüs on matemaatilise analüüsi ja selle rakenduste osa, mis on seotud Fourier ridade ja Fourier teisendusega. Harmooniline analüüs uurib funktsioonide esitatavust Fourier reana või integraalina, samuti Fourier ...

                                               

Integraal

Integreerimine on koos oma pöördtehte diferentseerimisega üks matemaatilise analüüsi baasmõistetest. Määratud integraal reaalmuutuja funktsioonist f x lõigul on suurus ∫ a b f x d x, {\displaystyle \int _{a}^{b}\!fx\,dx,\,} mida võib tõlgendada k ...

                                               

Iseärane punkt

Iseärane punkt ehk singulaarne punkt on matemaatikas reeglina punkt, kus matemaatiline objekt ei ole määratletud või millel on ebaregulaarne käitumine. Teisiti öeldes, funktsiooni iseärane punkt on komplekstasandi punkt, milles vaadeldav funktsio ...

                                               

Jada piirväärtus

Jada a n piirväärtuseks nimetatakse arvu A {\displaystyle A}, kui iga positiivse arvu ε jaoks leidub jadas järjekorranumber m, millest alates jada järgnevad liikmed erinevad arvust A {\displaystyle A} vähem kui ε võrra, st. | a n − A | < ε, {\ ...

                                               

Kuhjumispunkt

Topoloogilise ruumi alamhulga kuhjumispunktiks nimetatakse selle ruumi punkti, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev vaadeldavasse hulka kuuluv punkt. Oluline erijuht on jada kuhjumispunkt, mille võib defineerida ka järgmiselt: el ...

                                               

Kumer hulk

Kumer hulk on vektorruumi selline alamhulk C, mis koos iga sellesse hulka kuuluva kahe punktiga x, y sisaldab ka neid punkte ühendavat lõiku 1 − t x + t y, kus t võtab väärtuseid vahemikus.

                                               

Lagrangei keskväärtusteoreem

Lagrangei keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon f {\displaystyle f} on pidev lõigus } ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus {\displaystyle }, siis leidub c ∈ {\displaystyle c\in ...

                                               

Lineaarprogrammeerimine

Lineaarprogrammeerimine on matemaatikas optimeerimise meetod, millega leitakse sihifunktsiooni muutujate väärtused, mille puhul funktsiooni väärtus on minimaalne või maksimaalne. Sealjuures võivad muutujatele kehtida võrratussüsteemina esitatavad ...

                                               

Logaritmiline diferentseerimine

Logaritmiline diferentseerimine on funktsiooni diferentseerimise meetod, mille puhul kasutatakse funktsiooni ƒ logaritmilist tuletist ={\frac {1}{f}}\cdot f}. Sellist võtet kasutatakse sageli juhul, kui lihtsam on diferentseerida funktsiooni loga ...

                                               

Lõpmatult diferentseeruv funktsioon

Lõpmatult diferentseeruv funktsioon ehk sile funktsioon on funktsioon, millel on teatava piirkonna igas punktis olemas mistahes järku täisdiferentsiaal. Ühe muutuja funktsioon on järelikult sile, kui sel leidub mistahes vaadeldavas piirkonnas mis ...

                                               

Meetriline ruum

Matemaatikas nimetatakse meetriliseks ruumiks hulka, milles elementide vahel on antud kaugus. Kujutust, mis elementidele kauguse annab, nimetatakse meetrikaks. Kauguse mõiste järgib selle intuitiivset käsitust ning täidab järgmisi tingimusi: Punk ...

                                               

Monotoonne funktsioon

Matemaatilises analüüsis nimetatakse reaalmuutuja funktsiooni kasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kasvab, ning kahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse range ...

                                               

Määramata integraal

Funktsiooni f {\displaystyle \ f} määramata integraaliks nimetatakse avaldist F x + c {\displaystyle \ Fx+c}, kus F x {\displaystyle \ Fx} on funktsiooni f x {\displaystyle \ fx} mingi algfunktsioon ja c ∈ R {\displaystyle \ c\in \mathbb {R} } on ...

                                               

Määratud integraal

Olgu reaalmuutuja funktsioon f {\displaystyle f} pidev ja tõkestatud lõigus, siis määratud integraal ∫ a b f x d x {\displaystyle \int _{a}^{b}fx\,dx\,} on arvuliselt võrdne xy -tasandil funktsiooni f x {\displaystyle \ fx} graafiku, x -telje nin ...

                                               

Nabla-operaator

Nabla-operaator ehk Hamiltoni nabla-operaator ehk Hamiltoni diferentsiaaloperaator ehk nabla on diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav vektorväärtusega diferentsiaaloperaator. Seda kasutatakse matemaatiliste tähistuste lühen ...

                                               

Osatuletis

Osatuletiseks nimetatakse matemaatilises analüüsis sellist funktsiooni tuletist, mille arvutamisel mingi muutuja x {\displaystyle x} järgi punktis P 0 {\displaystyle P_{0}} loetakse teised muutujad konstantseks. Osatuletis on üks matemaatilise an ...

                                               

Piirväärtus

Funktsiooni f {\displaystyle f} piirväärtuseks kohal a {\displaystyle a} nimetatakse arvu A {\displaystyle A}, kui suvalise arvu ε > 0 korral leidub selline arv δ > 0, et iga x ∈ X {\displaystyle x\in X} korral kehtib võrratus | f x − A | & ...

                                               

Polünoom

Polünoom ehk algebraline hulkliige on matemaatikas hulkliige, mis on moodustatud muutujatest liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil. Polünoome saab esitada üksliikmete, mis on muutujate naturaalarvuliste astmete ja konstantsete kordajate ko ...

                                               

Polünoomi nullkoht

Polünoomi nullkoht ehk polünoomi juur on muutuja väärtus, mille korral ühe muutuja polünoomi väärtus on 0. n -inda astme polünoomil võib olla maksimaalselt n nullkohta. Polünoomi nullkohad on ka vastava võrrandi lahendeiks.

                                               

Päratu integraal

Olgu funktsioon f {\displaystyle \ f} määratud ja pidev piirkonnas "a, ∞), {\displaystyle "a,\infty),} siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas "a, ∞) {\displaystyle "a,\infty)} nimetatakse piirväärtust ∫ a ∞ f x d x = lim b → ∞ ∫ a b f ...

                                               

Subaditiivne funktsioon

Subaditiivne funktsioon on reaalarvulise väärtusega funktsioon, mis iga x ja y korral oma määramispiirkonnast rahuldab tingimust f x + y ≤ f x + f y. {\displaystyle fx+y\leq fx+fy.} Subaditiivne funktsioon on aditiivne parajasti siis, kui see on ...

                                               

Superaditiivne funktsioon

Superaditiivne funktsioon on reaalarvuliste väärtustega funktsioon, mis iga x ja y korral oma määramispiirkonnast rahuldab tingimust f x + y ≥ f x + f y. {\displaystyle fx+y\geq fx+fy.} Superaditiivne funktsioon on aditiivne parajasti siis, kui s ...

                                               

Taylori rida

Taylori rida on matemaatikas funktsiooni esitus astmereana, mille kordajateks on funktsiooni tuletised ühe etteantud argumendi väärtuse a juures. Juhul, kui a = 0, nimetatakse seda rida ka Maclaurini reaks.

                                               

Taylori valem

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised ku ...

                                               

Tuletis (matemaatika)

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel - täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu j ...

                                               

Variatsioonarvutus

Variatsioonarvutus on matemaatilise analüüsi haru, mis kasutab funktsionaalide variatsioone väikseid muutusi) funktsionaalide ekstreemumite leidmiseks. Funktsionaale väljendatakse sageli määratud integraalidena avaldistest, mis sisaldavad funktsi ...

                                               

Ühtlane pidevus

Ühtlane pidevus on meetriliste ruumide vahelise kujutuse f: X → Y omadus: Kujutus f on ühtlaselt pidev parajasti siis, kui mis tahes reaalarvu ε> 0 korral leidub selline reaalarv δ> 0, et kui x 1,x 2 ∈ X ja kaugus ρ x 1,x 2 < δ, siis kau ...

                                               

Pluss

Pluss ehk plussmärk on märk, mida kasutatakse eeskätt matemaatilise märgina liitmise tähistamiseks. Veel 15. sajandil märgiti liitmistehet ladina sõnaga plus rohkem. Trükis kasutati plussi liitmismärgina esimest korda Johannes Widmanni raamatus M ...

                                               

Banachi-Tarski paradoks

Banachi–Tarski paradoks on teoreem hulgateoreetilises geomeetrias, mille kohaselt saab kolmemõõtmelises ruumis kera jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks ja neid osasid üksnes nihete ja pöörete abil liigutades kokku panna kaks esi ...

                                               

Loenduv subaditiivsus

Loenduv subaditiivsus on matemaatikas teatavate mittenegatiivsete reaalväärtusega kujutuste teatav omadus. Funktsionaalanalüüsis nimetatakse kujutust p: X → } loenduvalt subaditiivseks, kui kehtib p ⋃ k = 1 ∞ A k ≤ ∑ k = 1 ∞ p A k, {\displaystyle ...

                                               

Loenduvalt aditiivne funktsioon

Loenduvalt aditiivne funktsioon ehk täielikult aditiivne funktsioon on hulgafunktsioon μ, mis oma määramispiirkonna paarikaupa ühisosata hulkade suvalise jada { A n } korral rahuldab tingimust μ ⋃ n = 1 ∞ A n = ∑ n = 1 ∞ μ A n. {\displaystyle \mu ...

                                               

Bogosort

Bogosort on arvutiteaduses sorteerimisalgoritm, mis on väga eba efektiivne. Bogosort põhineb katse-eksitus meetodil, genereerides niikaua elementide permutatsioone, kuni leiab ühe, milles elemendid on õiges järjekorras ehk sorteeritud. Sellel alg ...

                                               

Heapsort

Heapsort on sortimisalgoritm, mis sarnaneb valiksortimise algoritmiga. Sarnaselt valiksortimisele jagatakse heapsortis massiiv sorteerimata ja sorditud osaks. Sorteerimata massiivi osast luuakse täiuslik kahendkuhi, millelt eemaldatakse suurim li ...

                                               

Kiirsortimine

Kiirsortimine on tõhus jaga-ja-valitse põhimõttel sortimisalgoritm. Selle töötas välja Tony Hoare 1959. aastal ja avaldas 1961. a. Algoritm on ka tänapäeval laialdaselt kasutuses. Hästi teostatuna on see umbes kaks kuni kolm korda kiirem oma peam ...

                                               

Mullsortimine

Mullsortimine ehk mullimeetod on lihtne sortimisalgoritm. Sorditavat loendit läbitakse korduvalt ja läbimisel vahetatakse kõrvutiasetsevad elemendid, kui need on vales järjestuses. Loend loetakse sordituks, kui läbimise käigus ei tehta ühtegi vah ...

                                               

Shelli sortimine

Shelli sortimine on sortimisalgoritm, mis töötab kohapeal ja põhineb elementide võrdlusel. Shelli sortimisalgoritmi vaadeldakse tavaliselt pistemeetodi variatsioonina, kus võrreldakse ja vahetatakse ka üksteisest kaugel asuvaid elemente. Algoritm ...

                                               

Vahelepanemisega sortimine

Vahelepanemisega sortimine on sortimisalgoritm, täpsemalt on tegu võrdlussortimisega, mis ehitatakse ühe sisestuse haaval. Antud sortimine on mõeldud eeskätt viitavale loetelule, kus elemendi lisamiseks tuleb vahetada väiksemalt elemendilt viit e ...

                                               

Valiksortimine

Valikuga sortimine on sortimisalgoritm, täpsemalt on tegu võrdlussortimisega. Selle efektiivsusfaktor on sõltumata sisendandmete järjestusest O {\displaystyle O}, mis muudab algoritmi suurte hulkade korral vähetõhusaks ning üldjuhul annab halvema ...